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Transformation de Fourier (véritable)
Transformation de Fourier inverse (véritable)
Exemple 1 – Déterminer la transformation de Fourier de la fonction f(t) = exp(-t),
pour t >0 et f(t) = 0, pour t<0.
Le spectre continu, F(ω), est calculé avec l'intégrale :
Ce résultat peut être rationalisé en multipliant le numérateur et le dénominateur
par la conjuguée du dénominateur, à savoir!: 1-iω. Le résultat est maintenant :
qui est une fonction complexe.
Les parties réelle et imaginaire de la fonction peuvent être tracées comme cela
est montré ci-dessous :
F
{
(
)}
=
f
t
F
−
1
ω
F
{
(
)}
=
F
1
∞
∫
−
1 (
+
e
π
2
0
1
1
−
exp(
⎡
=
lim
⎢ ⎣
π
2
ε
→
∞
1
ω
F
(
)
=
⋅
π
2
1
+
1
=
π
2
1
∞
∫
ω
(
)
=
⋅
π
2
−∞
1
∞
∫
) (
=
⋅
f
t
π
2
−∞
1
ω
i
)
t
=
lim
dt
π
2
ε
→
∞
ω
ε
−
1 (
+
i
)
)
ω
1
+
i
1
1
⎛
=
⋅
⎜
ω
π
i
2
1
⎝
1
⎛
−
i
⋅
⎜
ω
2
1
+
1
⎝
ω
−
i
t
) (
⋅
⋅
f
t
e
dt
ω
ω
−
i
t
(
)
⋅
⋅
F
e
dt
ε
∫
ω
−
1 (
+
i
)
t
e
dt
0
1
1
⎤
=
⋅
⎥ ⎦
π
ω
2
1
+
i
ω
1
1
−
i
⎞
⎛
⋅ ⎟
⎜
ω
ω
+
i
1
−
i
⎠
⎝
ω
⎞
⎟
ω
2
+
⎠
.
⎞
⎟
⎠
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