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Chapitre 15
Applications d'analyse vectorielle
Dans ce chapitre nous vous présentons plusieurs fonctions du menu CALC qui
s'appliquent à l'analyse de champs scalaires et vectoriels. Le menu CALC a été
présenté dans le détail au Chapitre 13. En particulier, dans le menu
DERIV&INTEG, nous avons identifié un certain nombre de fonctions qui ont des
applications en analyse vectorielle, à savoir CURL, DIV, HESS, LAPL. Pour les
exercices de ce chapitre, paramétrez votre mesure d'angle en radians.
Définitions
Une fonction définie dans une région de l'espace telle que φ(x,y,z) est appelée
champ scalaire. Des exemples de ces champs sont fournis par les températures,
les densités et le potentiel de tension près d'une charge. Si la fonction est
définie par un vecteur, à savoir F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, elle est
appelée champ de vecteurs.
L'opérateur suivant, appelé opérateur 'del' ou 'nabla', est un opérateur basé sur
vecteurs qui peut être appliqué à un scalaire ou à une fonction vectorielle
Lorsque cet opérateur est appliqué à une fonction scalaire, nous pouvons
obtenir le gradient de cette fonction, et lorsqu'il est appliqué à une fonction
vectorielle nous pouvons obtenir la divergence et le rotationnel de cette
fonction. Une combinaison de gradients et de divergences produit un autre
opérateur que l'on appelle le Laplacien d'une fonction scalaire. Ces opérations
sont présentées ci-dessous.
Gradient et dérivée directionnelle
Le gradient d'une fonction scalaire φ(x,y,z) est une fonction vectorielle définie
par
∂
[ ]
[ ]
∇
=
i
⋅
∂
x
φ
φ
=
∇
=
grad
∂
[ ]
+
j
⋅
+
k
∂
y
φ
φ
∂
∂
⋅
+
⋅
+
i
j
∂
∂
x
y
∂
[ ]
⋅
∂
z
φ
∂
⋅
k
∂
z
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