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autre côté, d1z(x(t),y(t)) signifie « la première dérivée de z(x,y) par rapport à
la première variable indépendante, à savoir x" ou d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. De
même, d2z(x(t),y(t)) = ∂z/∂y. Par conséquent, l'expression ci-dessus doit être
interprétée comme :
Différentielle totale d'une fonction z = z(x,y)
Partant de la dernière équation, si nous la multiplions par dt, nous obtenons la
différentielle totale de la fonction z = z(x,y), à savoir : dz =
∂y)
⋅
dy.
Une version différente de la formule de dérivation s'applique aux cas pour
lesquels z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v), de telle sorte que z = f[x(u,v), y(u,v)].
Les formules suivantes représentent des formules de dérivation dans cette
situation :
∂
z
∂
u
Déterminer les extrêmes de fonctions à deux variables
Afin que la fonction z = f(x,y) puisse avoir un point extrême (extrêmum) à
), ses dérivées ∂f/∂x et ∂f/∂y doivent disparaître à ce point. Il s'agit de
(x
,y
o
o
conditions nécessaires. Les conditions suffisantes pour que la fonction ait un
point extrême au point (x
2
2
2
∂y
)-[∂
f/∂x∂y]
un minimum relatif si ∂
2
2
⋅
Si Δ = (∂
f/∂x
)
comme point selle, où la fonction atteindrait un maximum de x si nous
maintenions y constant, tout en atteignant en même temps un minimum si nous
maintenions x constant ou vice-versa.
Exemple 1 – Déterminons les points extrêmes (s'ils existent) des fonctions
dz/dt = (dy/dt)
∂
z
∂
x
∂
z
=
⋅
+
∂
x
∂
u
∂
y
) sont ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0 et Δ = (∂
,y
o
o
> 0. Le point (x
2
2
> 0. La valeur Δ est appelée discriminant.
f/∂x
2
2
2
(∂
f/∂y
)-[∂
f/∂x∂y]
⋅
(∂z/∂y) + (dx/dt)
∂
y
∂
z
⋅
,
=
∂
u
∂
v
) est un maximum relatif si ∂
,y
o
o
2
< 0, nous avons une condition connue
∂z/∂x).
⋅(
∂z/∂x)
(
∂
z
∂
x
∂
z
∂
⋅
+
⋅
∂
x
∂
v
∂
y
∂
2
⋅
dx + (∂z/
y
v
2
2
2
⋅
f/∂x
)
(∂
f/
2
f/∂x
< 0, ou
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