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Définition formelle d'un anneau arithmétique fini
≡
L'expression a
et est valable si (b-a) est un multiple de n. Avec cette définition, les règles de
l'arithmétique se simplifient comme suit :
Si
alors
Pour les divisions, suivez les règles précédentes. Par exemple, 17 ≡ 5 (mod 6),
et 21 ≡ 3 (mod 6). En utilisant ce principe, nous pouvons écrire :
17 + 21 ≡ 5 + 3 (mod 6) => 38 ≡ 8 (mod 6) => 38 ≡ 2 (mod 6)
17 – 21 ≡ 5 - 3 (mod 6) =>
17 × 21 ≡ 5 × 3 (mod 6) => 357 ≡ 15 (mod 6) => 357 ≡ 3 (mod 6)
Notez que chaque fois qu'un résultat dans la partie à droite du symbole de
"congruence" est supérieur au module (dans ce cas, n = 6), vous pouvez
toujours soustraire un multiple du module de ce résultat et le simplifier en un
nombre inférieur au module. Par conséquent, le résultat dans le premier cas 8
(mod 6) se simplifie en 2 (mod 6) et le résultat du troisième cas, 15 (mod 6) se
simplifie en 3 (mod 6). Un peu perdu? Cela ira mieux si vous laissez la
calculatrice se charger de ces opérations. Par conséquent, lisez la section
suivante pour comprendre comment la calculatrice fonctionne avec les anneaux
arithmétiques finis.
Anneaux arithmétiques finis dans la calculatrice
Depuis le début, nous avons défini nos opérations arithmétiques finies de telle
sorte que les résultats soient toujours positifs. Le système arithmétique modulaire
dans la calculatrice est paramétré de telle sorte que l'anneau de module n
inclue les nombres -n/2+1, ...,-1, 0, 1,...,n/2-1, n/2, si n est pair, et –(n-1)/2,
-(n-3)/2,...,-1,0,1,...,(n-3)/2, (n-1)/2, si n est impair. Par exemple, pour n = 8
(pair), l'anneau arithmétique fini dans la calculatrice comprend les nombres : (-
3,-2,-1,0,1,3,4), tandis que pour n = 7 (impair), l'anneau arithmétique fini de
la calculatrice correspondant est donné par (-3,-2,-1,0,1,2,3).
b (mod n) est interprétée comme "a est congru à b, modulo n,"
≡
a
b (mod n) et c
a+c ≡ b+d (mod n),
a-c ≡ b - d (mod n),
a × c
-4 ≡ 2 (mod 6)
≡
d (mod n),
≡
b × d (mod n).
Page. 5-15
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